Oi Cristiano, tudo bem?

No caso, acredito que o problema esteja no laço dentro da função. Toda vez que clicarmos no botão, ele rodará o while e ficará preso no loop por conta do else não possuir nada que impeça o laço de continuar rodando após executar esse trecho do código.

    else {
        alert ("Você ainda não acertou. Tente novemante.");
    }
    tentativa++;
    palpite = document.querySelector("input");
    palpite.value = "";
    palpite.focus ();
}

Para resolver isso, podemos retirar o laço de dentro da função, dessa forma o número é verificado apenas uma vez quando você clicar no botão e não entra em um loop.

    //função de verificação dos palpites
    function verificaNumero() {
        if (palpite.value == numero) {
            alert("Você ACERTOU!!!!");
            exibeTela("FIM DO PROGRAMA");
        } else {
            alert("Você ainda não acertou. Tente novemante.");
        }
        tentativa++
        palpite = document.querySelector("input");
        palpite.value = "";
        palpite.focus();

        if (tentativa == 3) {
            exibeTela("Você não tema mais tentativas. O numero inserido foi " + numero + ".");
            exibeTela("FIM DO PROGRAMA");
        }
    }

Foram feitas algumas alterações na função verificaNumero():

1. Retirada do while na função para evitar que o código entre em loop toda vez que o botão for pressionado;
2. Retirada do break, pois como retiramos o laço, não há mais a necessidade de um break para interromper sua execução;
3. Por fim, para substituir a condição imposta no while que retiramos, adicionamos um if que só é acionado caso o número de tentativas seja 3. Nesse caso, também teremos que retirar o var tentativa de dentro da função, já que se declararmos ela lá dentro, toda vez que você clicar no botão, ela será redeclarada e perderemos o valor armazenado lá dentro. Portanto declaramos a var tentativa no corpo do código e dentro da função nós continuamos apenas incrementamos com tentativa++.

    //jogar
    var tentativa = 0;
    var palpite = document.querySelector("input");
    palpite.value = "";
    palpite.focus();
    var numero = parseInt(prompt("Insira um número entre 1 e 10."));
    var botaoPalpite = document.querySelector("button");
    botaoPalpite.onclick = verificaNumero;
</script>

Espero ter ajudado, se ficou qualquer dúvida é só avisar!

Bons estudos!!