Oi Higor, tudo bem? Vamos ver se te ajudo nessa.
A escolha da versão depende de alguns fatores.
1. Seu servidor suporta?
2. Seu cliente suporta?
3. A conexão é HTTPS?
Se a resposta for sim para os três casos, o HTTP 2 será usado. Se para uma das perguntas a resposta for não, será usava a versão 1. E isso é decidido logo nas primeiras requisições, é um processo bem complicadinho de detalhar, mas que está muito bem descrito no livro "Desconstruindo a web" da Casa do Código.
Hoje em dia eu arrisco chutar que a versão 1 ainda é a mais utilizada. Isso por que a migração de um protocolo assim não é tão simples. Os navegadores já suportam, os servidores já suportam em sua maioria, mas a atualização ainda depende das pessoas irem lá e habilitar.
Isso vai impactar na forma como você desenvolve? Depende. Se você usava técnicas de otimização de front-end que eram bem vistas no HTTP1, talvez tenha que reavaliar quais técnicas ainda valem a pena no HTTP2 ( O curso de performance web aqui na Alura explora um pouco disso) em outros casos acho que raramente vai mudar algo, a não ser que você esteja codificando um cliente ou servidor HTTP.
Eu não consegui elencar desvantagens no HTTP 2. A única que o pessoal comentava era a questão de precisar do SSL, que era pago, mas hoje em dia com as iniciativas como o Let's Encrypt, que gera seu certificado SSL gratuitamente, parece que a única desvantagem foi "eliminada".
Alguém pode comentar que por usar criptografia, podemos ter problemas de performance, etc. Realmente temos uma camada a mais. Mas isso nem chega a ser um problema por que outras otimizações foram feitas nas demais camadas, compensando a adição de mais uma.