Estou com dificuldade para entender laços encadeados

No primeiro espaço do for você coloca por qual número quer que comece, você colocou 0, por isso aparecem esses 0, para não aparecer o 0 basta mudar para 1.

Não sei se percebeu, mas também está indo só até o 9, ao invés de colocar linha < 10, coloque linha <=10.

public static void main(String[] args) {

        for(int linha = 1; linha <= 10; linha++ ) {
            for(int coluna = 1; coluna <= 10 ; coluna++ ) {     
                System.out.print(linha*coluna);
                }


            System.out.println(); 
        }

    }

}

Para ficar melhor você também pode colocar

System.out.print(" ");

em baixo do

System.out.print(linha*coluna);

Código completo:

public static void main(String[] args) {

        for(int linha = 1; linha <= 10; linha++ ) {
            for(int coluna = 1; coluna <= 10 ; coluna++ ) {     
                System.out.print(linha*coluna);
        System.out.print(" ");
                }


            System.out.println(); 
        }

    }

}

Não sei se ficou claro, mas tentei ajudar. XD

Boa noite Julia, tudo bem? Vou tentar complementar a abordagem do colega Cesar, uma vez que vc indicou que está com dificuldade de entender a lógica. Primeiro recomendo que se vc já estiver usando o eclipse procure usar a opção de debug, para acompanhar a execução do seu algoritimo. Irei tentar simular a execução do começo do seu código e a partir dai ele segue igual.

Seu código:

public static void main(String[] args) {

        for(int linha = 0; linha < 10; linha++ ) {
            for(int coluna = 0; coluna < 10 ; coluna++ ) {     
                System.out.print(linha*coluna);
                }


            System.out.println(); 
        }

    }

}

1 - O programa vai entrar na execução pelo main
2 - Vai iniciar a primeira execução do for(int linha = 0; linha < 10; linha++ ), ou seja, nesse momento sua variável linha tem o valor 0 dentro dela.
3 - O valor 0 para linha permite que entre dentro do laço for. 
4 - Vai passar para a execução do próximo for -> for(int coluna = 0; coluna < 10 ; coluna++ ) , sua variável coluna vale 0 também.
4 - O valor 0 para linha permite que entre dentro do laço for
5 - O código atinge a execução de System.out.print(linha*coluna); então ele imprimirá 0 * 0
6 - Acabou a execução do for interno para o valor linha = 0
7 - Volta ao for interno, e testa a condição com coluna = 1, condição válida para executar o código.
8 - O código atinge a execução de System.out.print(linha*coluna); então ele imprimirá 0 * 1
....
9 - Quando ele atingir o for(int coluna = 0; coluna < 10 ; coluna++ ) com valor 10 ele irá dar falso pra sua condição coluna < 10 e vai para o for externo
10 - Altera o valor de linha para 1 e passa na condição do for externo - > linha < 10
11 - Volta para o for interno.

Assim por diante até finalizar a execução de todos os comandos especificados no código.

Tentei quebrar a linha embaixo do código mas não deu certo.

Consegui entender gente! Muito obrigada César e Joao, ajudaram muito!