É possível fazer GROUP By por aluno.id em vez de primeiro_nome e ultimo_nome

Olá, Henrique, tudo bem?

É possível sim, em outros bancos de dados, como o SQL Server, quando utilizamos uma função de agregação, precisamos também utilizar a cláusula GROUP BY, pois é necessário especificar por quais campos queremos realizar o agrupamento dos registros, e nestes casos, precisamos especificar exatamente os campos que informamos no SELECT.

No caso do PostgreSQL, não precisamos utilizar a cláusula GROUP BY ao utilizar uma função de agregação, e nem precisamos informar exatamente os campos que estão no SELECT, então, creio que você não terá problemas ao utilizar o campo aluno.id:

• Utilizando o campo aluno.id no GROUP BY:

SELECT  aluno.primeiro_nome, 
         aluno.ultimo_nome, 
         COUNT(aluno_curso.curso_id) numero_cursos
    FROM aluno
    JOIN aluno_curso ON aluno_curso.aluno_id = aluno.id
    GROUP BY aluno.id
    ORDER BY numero_cursos DESC;

• Utilizando os campos informados no SELECT no GROUP BY:

SELECT  aluno.primeiro_nome, 
         aluno.ultimo_nome, 
         COUNT(aluno_curso.curso_id) numero_cursos
    FROM aluno
    JOIN aluno_curso ON aluno_curso.aluno_id = aluno.id
    GROUP BY aluno.primeiro_nome, 
         aluno.ultimo_nome
    ORDER BY numero_cursos DESC;

A título de curiosidade, caso queira ver um pouco mais sobre o assunto, indico a leitura da documentação do PostgreSQL.

OBS: Infelizmente a documentação do PostgreSQL é em inglês, então, caso tenha dificuldade em relação a este idioma, indico que tente utilizar o tradutor do navegador, para conseguir efetuar a leitura em português, mas qualquer dúvida ou dificuldade estarei à disposição.

Espero ter ajudado e bons estudos!