Olá Vinicius.
Estar sempre atento aos detalhes.
Este é o ponto.
Sua análise está correta.
Vamos revisar passo a passo para confirmar o raciocínio e entender de onde vem o possível erro do material do curso.
Matriz dada
[
A =
\begin{bmatrix}
2 & -4 & 8
5 & 4 & 6
0 & -1 & 2
\end{bmatrix}
]
Queremos calcular (\det(A)) pela expansão da última linha (linha 3).
1. Fórmula da expansão pela linha 3
[
\det(A) = a_{31}C_{31} + a_{32}C_{32} + a_{33}C_{33}
]
onde
(C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}),
e (M_{ij}) é o menor complementar (determinante da submatriz que sobra ao eliminar a linha (i) e a coluna (j)).
2. Substituindo os elementos da linha 3
[
\det(A) = 0\cdot C_{31} + (-1)\cdot C_{32} + 2\cdot C_{33}
]
3. Calculando os cofatores
a) (C_{31})
[
C_{31} = (-1)^{3+1}
\begin{vmatrix}
-4 & 8
4 & 6
\end{vmatrix}
= (+1) \cdot ((-4)\cdot6 - 8\cdot4) = -24 - 32 = -56
]
Mas como o termo (a_{31} = 0), ele não contribui.
b) (C_{32})
Submatriz obtida ao eliminar a linha 3 e a coluna 2:
[
\begin{vmatrix}
2 & 8
5 & 6
\end{vmatrix}
= 2\cdot6 - 8\cdot5 = 12 - 40 = -28
]
[
C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot (-28) = (-1) \cdot (-28) = 28
]
c) (C_{33})
Submatriz ao eliminar linha 3 e coluna 3:
[
\begin{vmatrix}
2 & -4
5 & 4
\end{vmatrix}
= 2\cdot4 - (-4)\cdot5 = 8 + 20 = 28
]
[
C_{33} = (-1)^{3+3} \cdot 28 = (+1)\cdot 28 = 28
]
4. Substituindo tudo
[
\det(A) = 0 + (-1)\cdot(28) + 2\cdot(28)
]
[
\det(A) = -28 + 56 = 28
]
O determinante correto é
[
\boxed{\det(A) = 28}
]
O erro no slide que você mencionou parece vir da troca de sinal no cofator (C_{32}) .
Talvez o material tenha usado ((-1)^{2+3}) em vez de ((-1)^{3+2}), invertendo o sinal.
Você aplicou corretamente a regra dos sinais alternados dos cofatores.
Parabéns.
Qualquer duvida comente ai.
Obrigado.
