Oi Ivana,
Pelo que entendi, as adquirentes são empresas como a Stone, a Cielo e a Rede, e seu papel é liquidar as transações financeiras por meio de cartão de crédito e débito. Para isso, elas se comunicam com as bandeiras de cartão e os bancos emissores (como Nubank, Itaú, Santander etc.) para processar as transações. Quando a compra é aprovada, a adquirente é responsável por receber o dinheiro do banco e repassar ao comerciante no prazo combinado em contrato, normalmente de até 31 dias.
Já o papel do gateway é processar as informações no momento em que a compra é finalizada no checkout. Quando os dados da transação são transmitidos, o gateway se comunica com a adquirente, que contata o banco emissor para verificar se os dados do comprador estão seguros e se há saldo suficiente para realizar a compra.
Quem processa o pagamento é a própria adquirente, o gateway funciona como uma ponte entre as adquirentes e o banco. Uma vantagem é que o gateway funciona como um terminal, em que o comerciante pode, em um único lugar, integrar as adquirentes, antifraude e conciliadores.
A cobrança dos gateways é feita com base no recebimento por volume de transações, o que é uma vantagem para grandes e-commerces.
Ficou mais claro? =)