Olá,
boa noite!
Respondendo de imediato a sua pergunta, sim, é possível integrar Xamarin com SQL Server.
Uma possível abordagem para integrar o SQL Server à sua aplicação seria expor uma API utilizando, por exemplo, uma Web API construída em .NET/ .NET Core.
De forma geral, a sua aplicação Xamarin consumiria a API, que por sua vez faria a comunicação com o banco SQL Server (ou qualquer outro banco).
Em termos de infraestrutura, a sua API precisaria estar hospedada em algum lugar. Pode ser um servidor local (e neste caso o servidor precisaria expor o endpoint de acesso à API na Internet, para que o App Xamarin possa consumi-lo) ou um serviço como, por exemplo, o App Service, do Azure.
O aplicativo também precisaria contar com acesso à internet, para poder consumir a API.
Os dados trafegados entre o App e a API seriam em JSON e da API pro SQL Server, você poderia usar o Entity Framework.
Sobre vantagens e desvantagens, é complicado de responder, pois depende de cada cenário e de cada necessidade de negócio.
O SQL Lite é um banco para guardar informações localmente, no dispositivo em que o App está sendo executado. Ele é muito util, por exemplo, quando o aplicativo pode ser executado offline. Num banco deste tipo, você só tem os dados de um dispositivo e de um usuário. Já num SQL Server você armazena dados gerais, de vários usuários e dispositivos, contudo, o fato de ele (o banco de dados) não estar diretamente no dispositivo, demanda acesso à rede que possui acesso ao banco (pode ser uma rede local ou pela Internet, depende do cenário).
Uma abordagem comum é você utilizar o SQLite para guardar os dados localmente quando o aplicativo for utilizado sem acesso à rede/internet e desenvolver uma rotina de sincronização que envie os dados para o SQL Server quando o dispositivo se conectar à rede.
Sobre as tecnologias que você poderia estudar para entender melhor como tudo isso funcionaria, eu deixei destacado em negrito o que eu considero mais importante.
Espero ter ajudado.
Abraço!
