Olá Reynaldo,
Da classe Empresa você não consegue acessar o nomeDoFuncionario porque, como você mesmo falou, esse atributo é private. Atributos e métodos private só podem ser acessados dentro da própria classe, então é necessário criar um método public que retorne o valor do atributo nomeDoFuncionario.
Por Exemplo:
//Método dentro da classe Funcionario
public String getNomeDoFuncionario(){
return this.nomeDoFuncionario;
}
Dessa forma você já consegue acessar esse valor na classe Empresa, assim você conseguirá fazer um método mostraNomeDosFuncionarios.
//Método dentro da classe Empresa
public String mostraNomeDoFuncionario(){
for(int i = 0; i < funcionarios.length;i++){
if(funcionarios[i] != null){
funcionarios[i].getNomeDoFuncionario();
}
}
}
Assim você consegue acessar o atributo nomeDoFuncionario da classe Funcionario, dentro da classe Empresa.
Até mais!
P.S.: Como Luiz falou, normalmente se é utilizado ArrayList, ao invés de array, no entanto este é um assunto do curso "Java e suas bibliotecas", logo você não precisa se preocupar com isso neste momento.