Máximo volume de uma caixa sem tampa

Olá Rafael, tudo bem? Espero que sim!

Vou deixar uma explicação completa do problema, mas você pode descer até a simplificação da expressão caso queira.

Considerando que a seja o valor do lado da base e b seja a altura da caixa, podemos construir duas expressões, uma para o volume e outra para a área total com exceção do topo:

Volume e área total de uma caixa sem tampa, com base de lado a e altura b

O volume V(a,b) foi encontrado obtendo a área da base quadrada a*a multiplicado pela altura b.

O cálculo da área total, que não possui tampa é a área da base quadrada a*a acrescido da área de cada uma das faces da caixa, que possuem comprimento a e altura b, portanto a*b é a área de uma face, como a caixa possui 4 faces desse tamanho, obtemos 4*a*b. Se possuísse tampa, a área da tampa seria a mesma área da base, tornando a equação 2a²+4ab.

A área total foi dada com valor 1200 cm². Portanto podemos substituir na expressão da área:

Volume e área total de uma caixa sem tampa, com base de lado a e altura b e área igual a 1200cm

Vamos isolar o termo b na expressão da área para realizar uma substituição do valor na expressão do Volume V(a,b).

Isolando o valor de b no cálculo da área

Observe que o 1200 foi dividido por 4 e o a² foi dividido por a, simplificando a expressão e retornando o valor de b.

Com isso, podemos substituir na expressão do volume:

Volume de uma caixa sem tampa, com área lateral igual a 1200cm²

Espero que tenha tirado sua dúvida.

Estou à disposição. Bons estudos!