Equivalência de Funções

Olá Nelson, tudo bem? Espero que sim!

As funções f(x) = (x² - 9) / (x – 3) e g(x) = x + 3 não são funções equivalentes, elas se diferenciam exatamente no ponto x = 3, onde a função f(x) = (x² - 9) / (x – 3) não está definida, devido ao denominador que não pode ser igual a zero.

A operação de dividir o numerador pelo denominador x - 3, quando foi realizado em f(x) = ((x – 3) ( x + 3)) / (x – 3) => x + 3 só pode ser realizado no domínio da função f(x), que são todos os valores reais exceto o valor 3. Essa operação não pode ser feita no domínio de todos os números reais.

Essas funções só seriam equivalentes caso considerassem o mesmo domínio de R - {3}. Ou seja, se considerássemos os valores possíveis sendo o conjunto dos números reais com a exclusão do 3.

Espero que tenha tirado sua dúvida.

Estou à disposição. Bons estudos!

João,

Entendi, porém em termos, rs.

Minha indagação é porque, desde o colégio, nós aprendemos que a simplificação de expressões algébricas gera outras expressões, porém equivalentes. Sendo assim, tanto f(x) quanto g(x), apontadas anteriormente, deveriam ser equivalentes, pois foi realizada uma operação de simplificação baseada em produtos notáveis. Isso significa que a expressão "x^2 - 9" daria o mesmo resultado que "(x - 3) (x + 3)", logo, quando aplicado no universo de funções e seus limites, teriam que ter a mesma visualização gráfica, inclusive no ponto x = 3. Portanto, se na primeira função o ponto x = 3 é indefinido, então na segunda função deveria ocorrer o mesmo comportamento.

Grato desde já!

Olá Nelson,

A expressão x²-9 é o mesmo que (x-3)(x+3) para qualquer número real x.

Já a divisão (x-3)(x+3)/(x-3) só pode existir caso x seja um número real diferente de 3. Portanto a conta só pode avançar com a divisão e retornar x+3 caso coloquemos como hipótese de que o nosso domínio seja os números reais com exclusão do 3.

Uma função é definida tanto por sua expressão algébrica como pelo seu domínio. Portanto, as funções podem ser consideradas equivalentes caso você esteja trabalhando no mesmo domínio R - {3}.

Portanto, podemos definir uma função f:R -> R, com expressão algébrica f(x) = x+3 e outra função g: R - {3} -> R, com a mesma expressão algébrica g(x) = x + 3 e mesmo assim essas funções serão distintas, uma vez que a definição da função depende tanto do domínio quanto da expressão algébrica.

Portanto f(x) = (x²-9)/(x-3) e g(x) = x + 3 só serão equivalentes se g for definida com o domínio g: R - {3} -> R. Caso você defina g:R -> R, essas funções não serão equivalentes devido ao ponto (3,6) que está definido na reta x+3 mas não está definido na função (x²-9)/(x-3).

Espero que tenha tirado sua dúvida.

Agora sim, João!

Entendi. Ou seja, as funções são equivalente se e somente se o ponto x=3 não fizer parte do domínio das funções (R - {3} -> R).

Porém, complementando, o limite tendendo a 3 de ambas será o mesmo independentemente do domínio, correto?

Grato!

Exatamente Nelson, o limite das duas funções quando x tende a 3 é o mesmo, independente do domínio.