Olá Daiane.
Parabéns por buscar na documentação por mais conhecimento.
Se olharmos nesse trecho da documentação vamos encontrar essa descrição:
The preprocessing module further provides a utility class StandardScaler that implements the Transformer API to compute the mean and standard deviation on a training set so as to be able to later reapply the same transformation on the testing set.
Dai podemos concluir que a principal diferença entre utilizar o scaler e o StandardScaler é a possibilidade de fazer os cálculos por exemplo do Standard score, que vão gerar a nova escala, em cima do seus dados de treino.
scaler = StandardScaler()
x_treino_scaled = scaler.fit_transform(x_treino)
E depois aplicar essa mesma escala no seus dados de teste:
x_teste_scaled = scaler.transform(x_teste)
Não conseguimos fazer isso utilizando apenas o scaler, nele poderíamos apenas reescalar em cima de todo o nosso x, porem isso vai gerar uma escala, valores, diferentes, já que o calculo será feito em cima de todos os nossos dados.
Bons Estudos.