Texto "Please, login!" não aparece quando usuário não está logado

Boa noite pessoal, então, a aplicação está indo bem, porém quando o usuário está na página de login, não aparece o texto "Please, login!", fica aparecendo o "(Logout)". Não sei o que pode estar acontecendo.

Meu header.component.html

<header class="fixed-top">
  <nav class="navbar navbar-light bg-white">
      <a class="navbar-brand">HUGOPICTURES</a>
      <div *ngIf="(user$ | async) as user; else login"><!--O pipe async serve para capturar direto no template a última emissão do observable-->
          <i class="fa fa-user-circle"></i>
          <a class="ml-2">{{ user.name }}</a>
          <a class="ml-2" (click)="logout()">(Logout)</a>
      </div>
      <ng-template #login>
        <span class="navbar-text">
            Please, login!
        </span>
      </ng-template>
  </nav>
</header>

Meu header.component.ts

import { Component } from '@angular/core';
import { Router } from '@angular/router';
import { Observable } from 'rxjs';

import { User } from '../user/user';
import { UserService } from './../user/user.service';

@Component({
  selector: 'hp-header',
  templateUrl: './header.component.html',
  styleUrls: [ './header.component.css' ]
})

export class HeaderComponent {

  user$: Observable<User>;

  constructor(
    private userService: UserService,
    private router: Router) {

    this.user$ = this.userService.getUser();
  }

  logout() {
    this.userService.logout();
    this.router.navigate(['']);
  }
}

Meu user.service.ts

import { Injectable } from '@angular/core';
import jwt_decode from 'jwt-decode';
import { BehaviorSubject } from 'rxjs';

import { TokenService } from './../token/token.service';
import { User } from './user';

/** Serviço para armazenar o token com auxílio do TokenService e retornar o usuário logado*/
@Injectable({ providedIn: 'root' })
export class UserService {

  /** O Behavior Subject vai pegar a informação do usuário e guardar até que alguém utilize a informação */
  private userSubject = new BehaviorSubject<User>({id:0,name:'',email:''});
  private userName!: string;

  constructor(
    private tokenService: TokenService) {
    this.tokenService.hasToken() &&
      this.decodeAndNotify();
  }

  setToken(token: string) {
    this.tokenService.setToken(token);
    this.decodeAndNotify();
  }

  getUser() {
    return this.userSubject.asObservable();
  }

  private decodeAndNotify() {
    const token = this.tokenService.getToken();
    const user = jwt_decode(token) as User;
    this.userName = user.name;
    this.userSubject.next(user);
  }

  logout() {
    this.tokenService.removeToken();
    this.userSubject.next({id:0,name:'',email:''});
  }

  isLogged() {
    return this.tokenService.hasToken();
  }

  getUserName() {
    return this.userName;
  }

}

Alguém pode me ajudar por favor?