Oi Mateus, tudo bem? O flutter veio com uma proposta de "matar" o uso de webviews em aplicativos móveis como era feito no ionic e em partes no react native. Você realmente precisa de uma webview no projeto, não consegue de alguma forma trazer os dados via API e exibir no aplicativo?
Particularmente nunca utilizei testes dentro de webviews através do flutter, mas, achei este repositório que pode de alguma forma te ajudar. Um conselho que dou é sempre vigiar a performance ao consumir dados web externos via webview. Dependendo da performance do funcionamento dela pode acabar inviabilizando o seu app.