No script de monitoramento, tive que trocar o seguinte código:
if pgrep nginx &> /dev/null
para
if pgrep nginx > /dev/null 2>&1
Pois, ao executar no crontab, além das mensagens informando se o Nginx estava iniciado, os PIDs do Nginx também eram listados. Isso só ocorria quando o script era programado no cron.