Para que a lista de clientes seja atualizada utilizando notifyListeners, utilize list.add. Dessa forma acessamos o método 'add' criado na classe Clients, e não o método 'add' do tipo List.

Altere esse trecho de código:

Consumer<Clients>(
    builder: (BuildContext context, Clients list, Widget? widget) {
      return TextButton(
          child: const Text("Salvar"),
          onPressed: () async {
            list.clients.add(Client(name: nomeInput.text, email: emailInput.text, type: dropdownValue));
            Navigator.pop(context);
          }
      );
    },
)

Para este:

Consumer<Clients>(
    builder: (BuildContext context, Clients list, Widget? widget) {
      return TextButton(
          child: const Text("Salvar"),
          onPressed: () async {
            list.add(Client(name: nomeInput.text, email: emailInput.text, type: dropdownValue));
            Navigator.pop(context);
          }
      );
    },
)