Ao analisar o código de Francisco logo achei o erro: ele colocou anoCopa = anoCopa + 4 fora das chaves de while. Basta uma pequena correção para que funcione direito. (Também alterei "tem" para "teve):
<meta charset="UTF-8">
<script>
function pulaLinha() {
document.write("<br>");
}
function mostra(frase) {
document.write(frase);
pulaLinha();
}
var anoCopa = 1930;
var limite = parseInt(prompt("Qual é o ano limite?"));
while(anoCopa <= limite) {
mostra(anoCopa + " teve copa!");
anoCopa = anoCopa + 4;
}
mostra("Ufa! Esses foram os anos de copa até " + limite);
</script>