eu tenho que manter o style dentro da pagina index.html mesmo eu tendo feito a parte css na outra pagina igual foi feito no style.css e puxado como link?
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sobre o style
Bom dia Gabriel!
Você armazenar seu arquivo style na pasta onde for melhor para você desenvolver seu projeto.
Só precisa tomar cuidado ao referenciá-lo através do link. Caso o arquivo esteja em outra pasta será necessário informar em qual pasta está e o nome do arquivo.
Exemplo:
<link rel="stylesheet" href="css/style.css">
Oi, Gabriel, tudo bem?
Não precisa, o uso da tag style no arquivo html é para quando essa estilaização não está no arquivo css. Se você já tem seu arquivo .css e o seu link está devidamente correto, não precisa manter a tag style, seria redundâcia.
Espero ter te ajudado!