Oi, Lucas. Tudo bem.
Nesse caso, o Docker não fornece nenhuma solução para lidar com os acessos concorrentes, sendo que se você planeja montar o mesmo volume e mais de um container e o acesso a um arquivo simultaneamente será possível, então você deve implementar uma forma de bloquear o acesso simultaneo, ou file locking. Um forma de fazer criar um arquivo de lock (se você tem um arquivo teste, criar um teste.lock) e sempre verificar se ele existe antes de manipular o arquivo, para saber se já tem outro processo usando.
Existem alguns sistemas de arquivo que fornecem alguns mecanismos, mas nada que seja implementado por padrão pelo docker.
Espero ter ajudado. Bons estudos!