Realmente é muito importante , entendi, não executava o fim porque o contador estav fora do while, mas colocando dentro, rodou.
<meta charset ="UTF-8">
<script>
// Com esse programa aprendi que o contador tem que ser dentro do while.
    function pulaLinha() {
        document.write("<br>");
    }
    function mostra(frase) {
        document.write(frase);
        pulaLinha();
    }
    var anoCopa = 1930;
    var limite = parseInt(prompt("Qual é o ano limite?"));
    while(anoCopa <= limite) {
       anoCopa = anoCopa + 4;
        mostra(anoCopa + " Esse ano teve copa!");
    }
    anoCopa = anoCopa + 4;
    mostra("Ufa! Esses foram os anos de copa até " + limite);
</script> 
             
            