O programa não teve bom funcionamento porque Kaun inseriu o "var totalGastoComEventos" dentro do looping do while. Sendo assim, o programa não guardava os valores anteriores, apenas o ultimo valor inserido.
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<script>
    function mostra(frase){
        document.write(frase);
        pulaLinha();
}
    function pulaLinha(){
        document.write("<br>");
        document.write("<br>");
}
var eventos = parseInt(prompt("Quantidade de eventos no mes"));
var contador = 1;
var gastoTotal = 0
while(contador <= eventos){
    var gastoPorEvento = parseInt(prompt("Valor gasto por evento"));
    contador = contador + 1;
    gastoTotal = gastoTotal + gastoPorEvento;
}
var mediaGastosEventos = gastoTotal / eventos
mostra("A média de gastos é de " + mediaGastosEventos + " reais.");
mostra("FIM!");
</script> 
            