O erro foi a inclusão da variavel totalGastoComEventos no while.
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<script>
function pulaLinha () {
    document.write ("<br>");
    document.write ("<br>");
}
function mostra(frase) {
    document.write(frase);
    pulaLinha();
}
    var totalDeEventos = parseInt(prompt("Informe o total de eventos"));
    var contador = 1;
    var totalGastoComEventos = 0;
    while(contador <= totalDeEventos) {
        var gasto = parseFloat(prompt("Informe total gasto com evento"));
        totalGastoComEventos = totalGastoComEventos + gasto;
        contador++;
    }
    var media = totalGastoComEventos / totalDeEventos;
    mostra("A média de gastos é " + media);
</script>