Resposta - A organizadora de eventos e seu irmão prodígio.

O irmão prodígio esqueceu de tirar a var totalGastoDeEventos de dentro do While, então toda vez que era colocado uma nova informação ele resetava a resposta anterior.

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<script>

    function pulaLinha() {

        document.write("<br>");
    }

    function mostra(frase) {

        document.write(frase);
        pulaLinha();
    }

var totalDeEventos = parseInt(prompt("Informe o total de eventos"));
var totalGastoComEventos = 0;

var contador = 1;
    while(contador <= totalDeEventos) {
        var gasto = parseFloat(prompt("Informe total gasto com evento"));
        totalGastoComEventos = totalGastoComEventos + gasto;
        contador++;
    }
    var media = totalGastoComEventos / totalDeEventos;
    mostra("A média de gastos é " + media);
</script>