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Resposta

A inicialização da variável totalGastoComEventos está dentro do laço de repetição, atribuindo zero a cada interação. O correto é que esta variável esteja antes do while para que o valor acumulado seja calculado.

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Solução:

<meta charset="UTF-8">
<script>

    function pulaLinha() {

        document.write("<br>");
    }

    function mostra(frase) {

        document.write(frase);
        pulaLinha();
    }

    var totalDeEventos = parseFloat(prompt("Informe o total de eventos"));

    var contador = 0;
    var totalGastoComEventos = 0;

    while(contador < totalDeEventos) {
        var gasto = parseFloat(prompt("Informe total gasto com evento"));
        totalGastoComEventos = totalGastoComEventos + gasto;
        contador++;
    }

    var media = totalGastoComEventos / totalDeEventos;

    mostra("A média de gastos é " + media);
</script>