Resolução do problema do botão.

Ao fazer o botão Maria não se atentou ao uso dos parênteses, onde chamou novamente uma função que já havia sido previamente criada. Sendo assim ao modificar "tirar" o uso dos dois parênteses a mais o botão irá funcionar corretamente.

<button id="botao">clique-me</button>
<script>

    var botao = document.querySelector('#botao');

    function botaoHandler() {

        alert('Botão clicado');
    }

    botao.addEventListener('click', botaoHandler);
</script>

Mas também teria como utilizar a função anônima que é criada no evento "click " , sendo assim ficaria da seguinte forma;

<meta charset="UTF-8">
<button id="botao">clique-me</button>

<script>

    var botao = document.querySelector("#botao");


    botao.addEventListener("click", function() {

        alert("Botão clicado");
    });

</script>