Bom dia! Tá meio confuso, deixa eu ver se entendi.
"Bom dia! Minha aplicação precisa receber um post de uma outra aplicação. "
Seu servidor precisa receber um dado via post através do Angular?
"É uma rota já existente e que funciona normalmente via GET"
Se a sua API não esta preparada para receber post, não adianta fazer um post através do Angular. Tem que alterar sua API para estar preparada para receber post.
"quando o erro 404 acontece. "
Esse erro indica que o endpoint da sua API não existe. Deve haver uma paridade com o método de envio usado pelo angular com sua API, basta uma estar diferente da outra que não vai funcionar.
Se quiser saber mais sobre API a Alura possui cursos que pode ajudá-lo a compreender melhor esse funcionamento, pois não há nada do lado do Angular que você possa fazer, a não ser trocar o método de envio de get para post.
Se você tem aplicações separadas, é necessário usar o caminho completo da API, não o caminho relativo.