O Burp não estava funcionando para endereços da web protegidos por SSL.
Daí acessei a documentação do Burp Suite e lá diz para marcarmos o proxy para todos os protocolos e não apenas para HTTP.
Feito isto, apareceu um erro de segurança de SSL ao acessar o endereço pelo Firefox, erro semelhante aos problemas comuns de SSL da Receita Federal ao acessar por certificado digital, pelo fato da dela ser "grosso modo" emitida pelo Serpro.
Assim, acho que encontrei uma solução para este problema de alerta sem ter que ficar adicionando exceções a cada URL: Instalar o CA Certificate da Burp.
https://support.portswigger.net/customer/portal/articles/1783075-Installing_Installing%20CA%20Certificate.html
