[Projeto] Desafio #7: resolvendo um problema de lógica

Prompt:

Vamos fazer a simulação de um investimento em renda fixa.

A situação hipotética é a seguinte: “””Giovanna estava pensando em investir R$ 6.500,00 em uma aplicação de renda fixa que oferecia uma taxa de juros simples de 1% ao mês, por um período de 12 meses”””.

Divida o problema em etapas, da maior para a menor, e faça uma explicação passo a passo da situação.

Responda:

• quais variáveis estão envolvidas na situação?
• como os juros simples são calculados (qual a fórmula matemática utilizada para o cálculo dos juros simples) utilizando os valores e prazos informados;
• o valor final do investimento, incluindo o valor dos juros;

Abaixo, um exemplo do cálculo:

“””Roberto estava pensando em investir R$ 5.000,00 em uma aplicação de renda fixa que oferecia uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, por um período de 18 meses”””.

Fórmula do Juros Simples: J=P x i x t
J = valor dos juros
P = capital inicial (ou principal)
i = taxa de juros (em forma decimal → 1% = 0,015)
t = tempo (em meses, se a taxa for mensal)

O montante (M) é dado por: M=P+J

Aplicando ao seu caso:
P = R$ 5.000,00
i = 1% ao mês = 0,01
t = 12 meses

Cálculo dos juros: J=5.000×0,015×18
J=1.350

Cálculo do montante: M=5.000+1350=6350

Resultado final:
Juros (J): R$ 1.350,00
Montante (M): R$ 6.350,00

Analise a situação e conclua se o investimento é válido, considerando que preciso pagar R$ 10.000,00 em despesas ao fim do período do investimento.

Caso o investimento não seja suficiente, me apresente a mesma situação, porém considerando os juros compostos.

Resposta:

1 Divisão do problema (maior → menor)

1. Entender a situação e objetivo (capital, taxa, prazo, meta de despesas).
2. Identificar as variáveis envolvidas.
3. Calcular os juros simples e o montante (passo a passo).
4. Comparar o montante com a despesa de R$ 10.000,00 e concluir se dá para pagar.
5. Se não for suficiente, recalcular o resultado usando juros compostos e medir a diferença/curto.

2 Variáveis envolvidas

(P) = capital inicial (principal) = R$ 6.500,00
(i) = taxa de juros mensal (em decimal) = 1% = 0,01
(t) = tempo (em meses) = 12 meses
(J) = valor dos juros (a calcular)
(M) = montante final = (P + J) (ou (P(1+i)^t) para juros compostos)
Meta / necessidade: R$ 10.000,00 ao fim do período

3. Juros simples — fórmula e cálculo com os valores dados

Fórmula dos juros simples:
[J = P \times i \times t] [M = P + J]

Aplicando os valores:

• (P = 6500)
• (i = 0{,}01)
• (t = 12)

Cálculo dos juros:
[J = 6500 \times 0{,}01 \times 12 = 6500 \times 0{,}12 = 780{,}00]

Cálculo do montante:
[M = 6500 + 780 = 7,280{,}00]

Resultado (juros simples):

• Juros (J): R$ 780,00
• Montante (M): R$ 7.280,00

Comparação com a meta:

• Necessidade: R$ 10.000,00
• Montante disponível: R$ 7.280,00
• Falta: R$ 10.000,00 − R$ 7.280,00 = R$ 2.720,00

Conclusão (juros simples): o investimento não é suficiente para pagar as despesas de R$ 10.000,00 ao fim de 12 meses.

4. Mesma situação com juros compostos (para comparar)

Fórmula (juros compostos, capitalização mensal):
[M = P (1 + i)^t]

Aplicando:
[M = 6500 \times (1{,}01)^{12} \approx 6,500 \times 1{,}127596 \approx 7,324{,}36]

(aproximação numérica: ((1{,}01)^{12}\approx 1{,}127596))

Cálculos:

• Montante composto (M \approx) R$ 7.324,36
• Juros compostos (J_c = M - P \approx) R$ 824,36

Comparação com a meta:

• Falta: R$ 10.000,00 − R$ 7.324,36 = R$ 2.675,64

Conclusão (juros compostos): mesmo com capitalização composta, o investimento ainda não alcança R$ 10.000,00; falta R$ 2.675,64.

5. Números úteis adicionais (quanto seria necessário aplicar para atingir R$ 10.000,00)

• Com juros simples (mesma taxa e prazo), o capital necessário (P) para chegar a R$ 10.000 é solução de (P(1+i t)=10000):
  [P = \frac{10000}{1 + i t} = \frac{10000}{1 + 0{,}01\times 12} = \frac{10000}{1{,}12} \approx \textbf{R$ 8.928,57}]

• Com juros compostos (mesma taxa e prazo), o capital necessário é:
  [P = \frac{10000}{(1+i)^t} = \frac{10000}{(1{,}01)^{12}} \approx \frac{10000}{1{,}127596} \approx \textbf{R$ 8.874,49}]

Ou seja, para atingir R$ 10.000 em 12 meses a 1% a.m. Giovanna precisaria aplicar aproximadamente R$ 8.928,57 em regime simples (ou R$ 8.874,49 se os juros fossem compostos).

6. Resumo final (curto e direto)

• Juros simples: J = R$ 780,00 → M = R$ 7.280,00 → falta R$ 2.720,00 para R$ 10.000,00.
• Juros compostos: J ≈ R$ 824,36 → M ≈ R$ 7.324,36 → falta R$ 2.675,64.
• Conclusão: não é suficiente em nenhum dos regimes. Para atingir R$ 10.000 em 12 meses a 1% a.m., precisaria aplicar cerca de R$ 8.874–8.929 (dependendo do regime).