Depois de um tempão tentando, consegui ver com mais clareza como acessar as informações do HTML. Ainda não tentei deixar o código menos repetitivo criando outra function, mas queria postar do jeito que funcionou primeiro.
function alterarStatus(numero){
let id = `game-${numero}`;
if(document.getElementById(id).querySelector('a').classList.contains('dashboard__item__button--return')){
document.getElementById(id).querySelector('div').classList.remove('dashboard__item__img--rented');
document.getElementById(id).querySelector('a').classList.remove('dashboard__item__button--return');
document.getElementById(id).querySelector('a').innerHTML = 'Alugar';
} else {
document.getElementById(id).querySelector('div').classList.add('dashboard__item__img--rented');
document.getElementById(id).querySelector('a').classList.add('dashboard__item__button--return');
document.getElementById(id).querySelector('a').innerHTML = 'Devolver';
}
}