A variável totalGastoComEventos precisa ser declarada e zerada fora do laço while para funcionar como acumulador.
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<script>
function pulaLinha() {
document.write("<br>");
}
function mostra(frase) {
document.write(frase);
pulaLinha();
}
var totalDeEventos = parseInt(prompt("Informe o total de eventos"));
var contador = 1;
var totalGastoComEventos = 0;
while (contador <= totalDeEventos) {
var gasto = parseFloat(prompt("Informe total gasto com evento"));
totalGastoComEventos = totalGastoComEventos + gasto;
contador++;
}
var media = totalGastoComEventos / totalDeEventos;
mostra("A média de gastos é " + media);
</script>