Pessoal, tive vários problemas ao configurar o ESLint, então vai aqui algumas dicas que me ajudaram:
Erro ao baixar dependências do ESLint Ao realizar a configuração do ESLint pela primeira vez recebi alguns erros na hora que ele pede para baixar algumas outras dependências. Para resolver esse problema precisei apenas apagar a pasta "node_modules" e o arquivo "package.lock.json" e depois voltar para a configuração do ESLint e assim selecionar para baixar as dependências.
Arquivo eslintrc sem regras Ao configurar o ESLint não me foi perguntado quais regras eu gostaria de adicionar, então tive que colocar na mão depois. Segue um link com as regras que podem adicionar: Regras ESLint.
VSCode não mostra os erros no código Após a configuração e adição das regras, mesmo assim o VSCode não começou a mostrar os erros. Para verificar se havia algum erro ao iniciar o ESLint tive que olhar na aba OUTPUT selecionando o ESLint no dropbox, e segundo o erro, tive que adicionar a seguinte configuração no "eslintrc":
"settings": {
"react": {
"version": "detect"
}
},