Problema na exibição dos ingredientes

Olá André, tudo bem.

Fiz algumas alterações no seu código e o deixei funcional., também deixei algumas observações referente as suas dúvidas.

Segue o código:

<meta charset="UTF-8">

<h1>Receitas do Yan</h1>

<script>

    var quantidade = parseInt(prompt("Quantos ingredientes você vai adicionar?"));
    console.log(quantidade);

    function nomes() {

        return prompt("Informe o ingrediente");
    }

    function pulaLinha(quantidade) {

        for (count = 0; count <= quantidade; count++) {
            document.write("<br>");
        }
    }

    // Resposta da 1ª e da 2ª pertunta
    function mostraIngreditentes(array) {

        document.write("<h2>Lista de ingredientes:</h2>");
        for (count = 0; count <= array.length; count++) {
            document.write(count + 1 + "º " + "ingrediente: " + array[count] + "<br>");
        }
    }

    var ingredientes = [];
    console.log(ingredientes);
    var contador = 1;

    function pedido() {

        while (contador <= quantidade) {

            var ingrediente = nomes();
            var achou = false;

            for (posicao = 0; posicao <= ingredientes.length; posicao++){

                if (ingrediente == ingredientes[posicao]){

                    achou = true;
                    // Resposta da pergunta 3
                    alert("Ingrediente já cadastrado! Informe outro.");
                    break;
                }
            }

            if (achou == false) {

                ingredientes.push(ingrediente);
                contador++;
            }
        }
    }

    // André aqui você está usando nome de variável duplicado
    pedido(quantidade);
    pulaLinha(1);
    mostraIngreditentes(ingredientes);

</script>

Espero que assim o tenha ajudado.

Bons estudos.

Olá André, tudo bem?

Respondendo a sua pergunta número 1 , fiz algumas alterações no seu código. Resumidamente você precisa passar um return ingredientes na sua função pedido.

Cuidado com variáveis globais e locais. As variáveis locais apenas pertencem ao escopo da função que você criou e as globais a todo o script.

<script>



    function nomes(){
        return prompt("Informe o ingrediente ");
    }


    function pedido(quantidade){
        var contador = 1;
        var ingredientes = [];

        while(contador <= quantidade) {

                var ingrediente = nomes();
                var achou = false;

                for(posicao = 0; posicao <= ingredientes.length; posicao++){
                    if(ingrediente == ingredientes[posicao]){
                        achou = true;
                        break;

                    }
                }
                if(achou == false){
                    ingredientes.push(ingrediente);
                    contador++;
                }
        }
        return ingredientes;
    }


    var ingredientes = pedido(parseInt(prompt("Quantos ingredientes você vai adicionar?")));
    console.log(ingredientes);
</script>

Obrigado, pela ajuda Ricardo e Henrique. Para o código funcionar usei a resposta de vocês dois. No for do Ricardo count <= array.length , acho que tem que ser apenas <, se não aparece um item a mais como undefined e usei o return do código do Henrique que estava faltando no meu.

<meta charset="UTF-8">

<h1>Receitas do Yan</h1>

<script>
    var quantidade = parseInt(prompt("Quantos ingredientes você vai adicionar?"));

    function nomes(){
        return prompt("Informe o ingrediente");
    }

    function mostraIngredientes(array){
        document.write("<h2>Lista de ingredientes</h2>");
        for(count=0; count < array.length; count++){
            document.write(count + 1 +"º" + "ingrediente: " + array[count] + "<br>");
        }
    }
    var ingredientes = [];
    var contador = 1;

    function pedido(){

        while( contador <= quantidade) {
                var ingrediente = nomes();
                var achou = false;
                for(posicao = 0; posicao <= ingredientes.length; posicao++){
                    if(ingrediente == ingredientes[posicao]){
                        achou = true;
                        alert("Ingrediente já cadastrado! Informe outro.");
                        break;

                    }
                }
                if(achou == false){
                    ingredientes.push(ingrediente);
                    contador++;
                }
        }
        return ingredientes;
    }
    pedido(quantidade);
    mostraIngredientes(ingredientes);
</script>