Olá Fernando, tudo bem ?
A biblioteca Apache foi removida à partir da API 22, o pessoal do Android sugere que usemos a biblioteca nativa do java -> HTTPUrlConnection , dá uma olhadinha como ficaria nossa classe :
public class WebClient {
    public String post(String json){
        try {
            URL url = new URL("https://www.caelum.com.br/mobile");
            HttpURLConnection connection = (HttpURLConnection) url.openConnection();
            connection.setRequestMethod("POST");
            connection.setRequestProperty("Accept", "application/json");
            connection.setRequestProperty("Content-type", "application/json");
            connection.setDoInput(true);
            connection.setDoOutput(true);
            PrintStream saida = new PrintStream(connection.getOutputStream());
            saida.println(json);
            connection.connect();
            String resposta = new Scanner(connection.getInputStream()).next();
            return resposta;
        } catch (Exception e){
            throw new RuntimeException(e);
        }
    }
}
Espero ter ajudado.
O que precisar pode falar !
Abraços