Por que dizemos o termo se aproximar , para quando x representa um valor?

Em algumas situações não é possível determinar o valor de uma função para algum valor do domínio. Mas apesar disso, é possível determinar qual o comportamento da função quando a variável independente (x que pertece ao domínio) se aproxima muitíssimo perto desse valor. É aí que entra a ideia de limite que resolve muitos problemas. E quando se trata de limite, o que realmente importa é o comportamento da função em torno desse valor, ou seja, quando x se aproxima cada vez mais.

// Pense na função:  R - {2} --> R, f(x) = ( x³ - 8 )/( x² - 4).

O número 2 não pertence ao domínio por uma restrição de zero no denominador. Mas repare, substituindo x por 2 chegamos a 0/0 que é uma indeterminação.

// Note que a equação (0)q + 0 = 0 é satisfeita por qualquer número real.

No entanto, podemos calcular o limite dessa função quando x tende a 2, mas nunca assume esse valor. Uma dica que dou é usar uma planilha e encontrar f(x) para valores muito próximos de 2. Exemplo: 2,00001, 1,9999999 e assim por diante. Repare no compartamento de f(x) conforme x se aproxima cade vez mais do número 2, mas sem nunca de fato chegar até 2.

Vamos fatorar o denominador:

// x² - 4 = x² + 2x - 2x - 2² = x(x + 2) - 2(x + 2) = (x - 2)(x + 2)

Agora, o numerador:

// x³ - 8 = (x² + 2x + 4)(x - 2) 

// (Não coloquei todos os passos, pois não ficou bem aqui)

Chegamos a outra razão equivalente:

// (x - 2)(x² + 2x + 4)
// ....................
// (x - 2)(x + 2)

x sempre se aproxima, mas nunca assume valor 2, a razão (x-2) / (x-2) é 1.

// (x - 2)(x² + 2x + 4)          (x² + 2x + 4)
// -------------------------  =  -----------------
 // (x - 2)(x + 2)                  (x + 2)

Dessa forma, cortornamos o problema graças ao conceito de limite.

Muito obrigado pela resposta Murilo, ficou bem completa e simples de entender, da forma que você escreveu.