Solucionado
Pelo proposto no curso o botão "Adicionar paciente" só funciona enquanto a tela não é atualizada.
Existe a possibilidade de persistir as alterações realizados no DOM, com javascript, em um novo arquivo HTML? Existiria outra possibilidade de fazer isso só no frontend - se possível sem envolver banco de dados?
Existe sim, você poderia usar o localStorage ou um cookie. Porém, talvez isso não seja interessante num projeto real.
O localStorage hoje é usado para guardar informações de acesso, como tokens e chaves de acesso, bem como comportamento de navegação.
É legal você aprender a usar eles, e eles tem persistência no navegador enquanto você não deletar eles limpando cache e cookies.
Segue abaixo alguns links pra saber mais sobre o localStorage, leia com bastante atenção e qualquer dúvida pode chamar de novo: