Solucionado
No parâmetro "database:mysql", o que seria o "mysql" depois dos 2 pontos? É o nome da imagem? Se sim, por que precisa colocar o nome da imagem.
Quando tentei com o nome do container somente não funcionou. Ao criar links, sempre terei que informar o nome da imagem a partir da qual o container for criado?
Bom dia Leonardo, o nome informado depois dos dois pontos é um "apelido" para o nome do container, esse nome é utilizado no arquivos /etc/hosts do container criado, dessa forma seu container pode se comunicar com o container do bando de dados usando o host mysql ao invés do endereço ip.
Se você não informar um apelido o nome do container sera usado em seu lugar.
Ah! Agora entendi ;-)