Solucionado
Estou usando ubuntu e fiz o procedimento docker run -p 8080:3000 -v "$(pwd):/var/www" -w "/var/www" node npm start e mesmo assim ele n aparece o site ja tester e ele ma aparece como ativo porem ele me da como se a pagina estivesse fora do ar, testei usando localhost:3000
João, a porta que você está utilizando é a do container, para acessar em seu sistema, utilize a porta 8080.
Ao tentar executar o comando novamente, sugiro que remova o container antigo para liberar o uso da porta 8080, caso contrario, ao executar novamente o comando docker run -p 8080:3000 -v "$(pwd):/var/www" -w "/var/www" node npm start será exibido um erro similar ao abaixo, pois a porta já está alocada para o antigo container.
$ docker run -d -p 8080:3000 -v "$(pwd):/var/www" -w "/var/www" node npm start
3c04416f5b78b291a23e9e8097d46b2a1fada1e0f6035c3046b12e5f71710b94
docker: Error response from daemon: driver failed programming external connectivity on endpoint beautiful_ardinghelli (d6612824fa298b52c1f17f8f1e5dcf2561210b734cb698ee6126692b85ca96f7): Bind for 0.0.0.0:8080 failed: port is already allocated.Você também pode executar o comando alterando apenas a porta, para 8082 por exemplo: docker run -p 8082:3000 -v "$(pwd):/var/www" -w "/var/www" node npm start e acessar através http://localhost:8082/.
Espero ter ajudado.