Na prática, "parsear" significa analisar um conjunto de dados e interpretar (ou transformar) esse conjunto em algo que faça sentido pelo programa, em algo que ele "entenda".
Por exemplo: o javascript não é capaz de entender JSON "puro", mas consegue receber um JSON e "parsear" seu conteúdo em um "objeto" (recomendo entender a estrutura básica de um objeto em javascript). Assim, com o objeto você consegue manipular aqueles dados. da mesma forma, você pode pegar esse objeto e "parsear" para um formato JSON.
Você também pode criar seus próprios "parseadores", como, por exemplo, receber um valor "inteiro" como "42" e parsear para uma "string" no formato de reais, ficando "R$ 42,00"