O que de fato deve ser colocado dentro da tag header?

Olá, Pedro :D

A tag header representa o cabeçalho, conhecido também como a parte do topo, é literalmente o início da página.

Sendo assim, meio que não tem uma regra clara do que adicionar dentro dele. Normalmente, podemos adicionar textos, imagem (logo), barra de pesquisa, menus, entre outras coisas. Isso varia bastante dependendo do objetivo do site que está sendo criado.

Exemplo: Se eu estou criando uma loja virtual, é interessante ter uma barra de pesquisa para o usuário pesquisar por um produto. Faz sentido deixá-la no topo (ou header) para facilitar encontrar ela, certo?

Acho que a única regra, de fato, é utilizar a própria tag header como sendo um cabeçalho, utilizando ela com o propósito pelo qual foi criado.

Mas no geral, não tem uma regra sobre o que adicionar dentro do header, depende bastante do objetivo do site mesmo.