Você não tá somando as idades corretamente. Ao invés de base, coloque total_idades como nome da variavel:

<meta charset="UFT-8">

<script>

    function pulalinha() {

        document.write("<br>");
    }

    function mostra(frase) {

        document.write(frase);
        pulalinha();
    }

    var total_familiares = parseInt(prompt("Quantas pessoas fazem parte da sua família?"));

    var quantidade = 1;

    var total_idades = 0;


    while(quantidade <= total_familiares) {
        var idades = parseInt(prompt("Digite a idade do membro da família."));
        total_idades = total_idades + idades;
        quantidade++;    
    }

    var media_idades = total_idades / total_familiares;

    mostra("A média das idades da sua família equivale a " + media_idades);


</script>

Perfeito, Luiz!

Muito obrigado pela ajuda!

:D