Solucionado
O script final não altera o arquivo html (index.html). A página html é renderizada com o novo paciente, porém se consultarmos o arquivo index.html, as novas tags não foram adicionadas nele e ao atualizarmos a página o paciente que tínhamos incluído é perdido. Teria como atualizarmos o arquivo html (escrever no index.html) com o javascript?
E aí, Joaquim!
O JavaScript pelo lado do front-end não atualiza o arquivo HTML original. Quando você adiciona um paciente, é feita uma alteração no que está sendo exibido no seu navegador, mas o arquivo original do servidor continua intacto. Se você inspecionar a página abrindo o console (pressione F12), verá que o código exibido ali (na aba Elements) é diferente do que você estava editando, pois ele inclui as modificações feitas ao adicionar um paciente.
É isso que difere uma linguagem front-end de uma back-end. No front-end as alterações são feitas no seu navegador, e o arquivo original é mantido intacto. No back-end as alterações são feitas no arquivo original e então ele é exibido no seu navegador.
É claro que você não quer perder os pacientes adicionados, mas a ideia dessa aula é explicar como realizar essas funções utilizando JavaScript. Para de fato manter suas informações salvas no servidor, é preciso utilizar alguma linguagem back-end, as linguagens que são capazes de alterar os arquivos originais, como PHP ou Java, por exemplo. Você até pode fazer isso com JavaScript utilizando Node.js, mas recomendo deixar isso mais pra frente, pra quando estiver familiarizado pelo menos com o básico do JavaScript.
Entendo que à primeira vista não faz sentido adicionar pacientes que serão perdidos ao atualizar a página, mas lembre-se que a ideia do curso é te introduzir a linguagem e o que ela pode fazer.