O certo é colocar o "anoCopa = anoCopa + 4" dentro da função while.
<meta charset="UTF-8">
<script>
function mostra(frase) {
document.write(frase);
document.write("<br>")
}
var anoCopa = 1930
var limite = parseInt(prompt("Qual é o ano limite?"))
while (anoCopa <= limite) {
mostra(anoCopa + " tem copa")
anoCopa = anoCopa + 4
}
mostra("Ufa! Esses foram os anos de copa até " + limite)
</script>