Não consigo entender a estrutura do While

Bom dia, tudo certo?

Existem dois erros de lógica no seu código.

O primeiro seria na condição do while. Você determinou que o laço deve se repetir até que anoCopa seja menor ou igual ao limite digitado pelo usuário. Nesse caso, se eu, como usuário, digitar um valor inferior à anoCopa, que seria 1930, o laço será ignorado e o código vai direto para a função mostra("FIM"), não exibindo o seu alert que está dentro do if.

O segundo erro está na comparação que você está fazendo dentro do if que serve para validar a entrada feita pelo usuário. Ao utilizar o && você está dizendo que a primeira condição E a segunda condição precisam ser TRUE. Isso significa que o número digitado pelo usuário tem que ser maior que 2018 e menor que 1930 ao mesmo tempo. Isso está fazendo seu teste condicional ter comportamento errado. Para corrigir isso, você deve trocar para o operador lógico || (ou/or). Este operador verifica se 1 das condições é TRUE, e caso seja, retorna TRUE. O operador or só retorna FALSE quando as 2 condições forem FALSE.

Eu também coloquei todo o bloco do seu código dentro de outro laço de while, cuja função é repetir o prompt até que a condição do IF seja validada. O break que coloquei no fim serve para interromper esse laço.

Vou deixar abaixo a modificação que eu fiz no seu código para você poder visualizar melhor as mudanças que eu fiz, fico à disposição se tiver alguma dúvida.

function mostra(text){
    document.write(text + "<br>");
}

while(true){

    var limite = prompt("Entre com a data limite.");
        var anoCopa = 1930;

  if (limite > 2018 || limite < 1930){
      alert("Não há registro de copa nessa data. Insira outra data limite.");
  } else {

    while (anoCopa <= limite) {
      mostra("Teve copa em "+ anoCopa);
        anoCopa = anoCopa + 4;

      }

    mostra("FIM");
    break;

  }

}

Editando minha resposta, pois creio que a solução do Guilherme esteja bem melhor e mais didática :) Bons estudos!

Olá, Guilherme F Almeida! Vi sua resposta logo que me respondeu mas estou vendo com mais calma agora. Obrigada pela estrutura e a explicação da lógica.

Giovani, eu não vi a sua resposta anterior a sua edição, mas, de qualquer forma, obrigada por vir aqui ajudar. :)