Nao consegui deixar o input com foco ao iniciar o programa.

Boa tarde, Mario Henrique Cardoso Vergara .

Para JS puro você pode usar o document.onreadystatechange para checar se o html já carregou por completo e assim chamar os métodos necessários.

Teste o código abaixo:

<meta charset="utf-8">

<input/>

<button>Compare com o meu segredo</button>

<script type="text/javascript">

    document.onreadystatechange = function () {
        if (document.readyState == 'complete') {
            document.querySelector("input").focus();
        }
    }

    function pulaLinha() {
        document.write("<br>");
    }

    function mostra(frase){
        document.write(frase);
        pulaLinha();
    }

    function verifica() {

        var segredo = Math.round(Math.random() * 10);

        input.focus();

        if(input.value == segredo){

            alert("Você acertou");

        }else {

            alert("Você errou.");
        }

            input.value = "";
            input.focus();
}

</script>