Como o código original só colocava os ingredientes no console, alterei pra exibir na tela uma lista dos ingredientes abaixo do título "Receitas do Yan". Pra isso eu só coloquei um document.write lá no caso de existe == false pra depois de "pushar" o ingrediente também acrescentá-lo à lista que vai aparecer escrita na tela depois que acabarem os alerts. Ficou assim:

 if( existe == false) {

            ingredientes.push(ingrediente);
            document.write(contador + ". " + ingrediente + "<br>");
            contador++;
        }

É importante deixar o incremento do contador depois do document.write, porque estou usando o contador para gerar também um item na lista. No meu teste incluí dois ingredientes: ingrediente 1 = sal, ingrediente 2 = tompero e se o incremento do contador estiver ANTES do document.write, gera uma lista assim:

2. sal
3. tompero

mas com o contador++ DEPOIS do document.write o resultado sai corretamente, mesmo no caso do usuário inserir "sal" várias vezes, porque o incremento só acontece caso existe == false

1. sal
2. tompero