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Minha Resposta quase completa T.T

Só conseguir até essa parte, faltou fazer com que se o chute fosse incorreto exibisse o alert("Você errou!!") uma vez só, depois de conferir os valores dentro numeroAleatorio[], resumindo finalizar o lop da linha 25. Mas vou ver a conclusão aqui do fórum e fazer os ajustes se o que eu fiz até agora estiver correto vou só editar essa linha 25. Acabei de ver que confundi o exercicio, rs vou acrescenrar o input e o botão!

<script>
var quantidade = 5
var contador = 1
var numeroAleatorio = []
console.log(numeroAleatorio)

while(contador <= quantidade){
    var numero =  Math.round(Math.random()*10)
    var existe = false
    if(numero != 0){

        for(posição = 0; posição < numeroAleatorio.length; posição++){
            if(numeroAleatorio[posição]==numero){
                existe = true
                break;
            }
        }if(existe == false){
            numeroAleatorio.push(numero)
            contador++
        }
    }        
}
var chances = 1

while(chances < 3){

    var chute = parseInt(prompt("Tente adivinhar o numero que estou pensando de 1 a 10"))
    for(i = 0; i < numeroAleatorio.length;i++){
        if(chute == numeroAleatorio[i]){

            alert("Você acertou")
            chances = 4
        }           
    }
}

</script>
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Oi Wesley

O seu while de chances está com tentativas ilimitadas, até acertar. Se quer dar somente 3 chances é necessário informar menor ou igual a 3 já que você está dando 3 chances e incrementar as chances, assim:

while (chances <= 3) {
    var chute = parseInt(
      prompt('Tente adivinhar o numero que estou pensando de 1 a 10')
    );
    for (i = 0; i < numeroAleatorio.length; i++) {
      if (chute == numeroAleatorio[i]) {
        alert('Você acertou');
        chances = 4;
      }
    }
    chances++; // aqui
  }