Fala Johnny, tudo bem ?
Pelo que eu entendi, você têm um ambiente de desenvolvimento configurado (usando Eclipse) e funcionando normalmente pra subir e aplicação web e testar durante desenvolvimento, mas agora precisa executar num ambiente de produção (sem IDE) apenas no servidor que será exposto aos acessos dos usuários do sistema, certo ?
Nesse caso você precisa apenas gerar o war do seu projeto web, ainda por intermédio do Eclipse (File > Export > Web > WAR File > Seu Projeto), e mover esse arquivo war para a pasta TOMCAT(ou outro nome para a pasta raiz do tomcar)/webapps/
no sua máquina de produção com o serviço do servidor rodando. O serviço já vai descompactar o war (implantar) para uma pasta com mesmo nome. Este nome por sua vez configura o contexto que será acessado nas urls.
Exemplo: projeto.war depois do deploy vira uma pasta projeto/
com o conteúdo implantado do projeto. Assim é acessível por http://seuDominio:8080/projeto/algumaUrl
.
A apostila do curso de Java para Desenvolvimento Web da Caelum trata justamente desse assunto neste trecho.
Espero ter ajudado. Abraço!
PS: Se não for isso, poste aqui com mais informações sobre o que acontece quando acessa sua aplicação.