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Hmm

Declarar o var totalGastoComEventos = 0; antes do while, depois só testar que dá bom!

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Solução:

<meta charset="UTF-8">
<script>

    function pulaLinha() {

        document.write("<br>");
    }

    function mostra(frase) {

        document.write(frase);
        pulaLinha();
    }

    var totalDeEventos = parseFloat(prompt("Informe o total de eventos"));

    var contador = 0;
    var totalGastoComEventos = 0;

    while(contador < totalDeEventos) {
        var gasto = parseFloat(prompt("Informe total gasto com evento"));
        totalGastoComEventos = totalGastoComEventos + gasto;
        contador++;
    }

    var media = totalGastoComEventos / totalDeEventos;

    mostra("A média de gastos é " + media);
</script>