Supondo que a sua API envie como resposta uma string que seja a imagem no formato Base64, você teria duas opções:
1 - Gravar a imagem em alguma pasta, utilizando a biblioteca react-native-fs e converter a string Base64 em imagem, ou
2 - Gravar a imagem em formato Base64 no aplicativo, a forma mais simples seria utilizar AsyncStorage, mas você pode pensar em algo mais sofisticado, como PouchDB ou Realm
Se a API retorna o link da imagem, você teria ou que baixar e gravar em alguma pasta, ou converter a imagem do link em Base64 e gravar em banco.
Aqui tem alguns links que podem dar algumas idéias:
https://stackoverflow.com/questions/48134397/react-native-save-base64-image-to-album
https://stackoverflow.com/questions/34908009/react-native-convert-image-url-to-base64-string
https://til.hashrocket.com/posts/b209c6ba05-how-to-render-base64-encoded-image-on-react-native