Gostaria de saber o motivo de baixar o live server

A extensão Live Server serve para você não precisar atualizar a página depois de toda mudança que você realiza no seu código. Ela é muito prática, pois imagine que você tenha que modificar seu código umas 100 vezes, se a cada modificação você desejar olhar o resultado no seu browser terá que atualizar a página essas 100 vezes.

Em resumo, é uma extensão de atualização automática.

Thales, os navegadores possuem um mecanismo de segurança chamado CORS. No caso do exercício do instrutor, o código que fizemos roda diretamente do nosso diretório local (você pode ver que quando você abre seu html no navegador, o endereço começa com file:///). Só que as requisições do CORS devem ser do tipo URL HTTP, então se você for usar módulos diretamente da sua máquina, os navegadores vão bloquear o acesso aos módulos, por uma questão de segurança. Quando você usa o live server, ele gera um servidor local do tipo HTTP, então o CORS "libera" o acesso aos módulos. Por isso o professor indicou o uso do live server, para que possamos ver que a aplicação está funcionando normalmente. Pelo menos foi assim que eu entendi.

Tirando esse motivo específico da aula, o que o Gabriel comentou acima também é válido. O live server ajuda muito ao ir mostrando automaticamente as alterações no seu código no browser, sem você ter que ficar atualizando a página manualmente toda vez que mudar algo.

Espero ter ajudado ^^