Olá João,
Usando ES6 você você conseguiria uma implementação assim:
<script>
    function mostra(frase) {
        document.write(frase);
        document.write("<br>");
    }
    var totalFamiliares = parseInt(prompt("Quantidade de familiares: "));
    let idades = [];
    // a var que receberá a soma das idades deve ser setada em 0 fora da estrutura de repetição, caso contrário o algorítimo entrará em looping
    for (var contador = 1; contador <= totalFamiliares; contador = contador + 1)
        idades.push(parseInt(prompt(`Informe a idade do familiar:  ${contador}`)));
    mostra(`A média dos ${totalFamiliares} familiares é: ${idades.reduce((anterior, proximo) => anterior + proximo, 0)/idades.length}`);
</script>